Вклад В.Серпинского в науку
Три хорошо известных фрактала названы его именем (треугольник Серпинского, ковер Серпинского и кривая Серпинского), а также числа Серпинского и связанная с ними проблема Серпинского.
Треугольник Серпинского (иногда пишется Серпинский), также называемый прокладкой Серпинского или ситом Серпинского, представляет собой фрактал привлекательный фиксированный набор с общей формой равносторонний треугольник, разделенный рекурсивно на меньшие равносторонние треугольники. Первоначально построенный в виде кривой, это один из основных примеров самоподобных множеств, т. е. представляет собой математически сгенерированный узор, воспроизводимый при любом увеличении или уменьшении. Он назван в честь польского математика Вацлава Серпинского, но появился как декоративный узор много веков назад до работ Серпинского.
Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлава Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага, а на флэш-демонстрации вы можете потренироваться и получить шаги вплоть до десятого.
Следующий способ получить треугольник Серпинского еще больше похож на обычную схему построения геометрических фракталов с помощью замены частей очередной итерации на масштабированный фрагмент. Здесь на каждом шаге составляющие ломаную отрезки заменяются на ломаную из трех звеньев (она сама получается в первой итерации). Откладывать эту ломаную нужно попеременно то вправо, то влево. Видно, что уже восьмая итерация очень близка к фракталу, и чем дальше, тем ближе будет подбираться к нему линия.
Но и на этом не всё. Оказывается, треугольник Серпинского получается в результате одной из разновидностей случайного блуждания точки на плоскости. Этот способ называется «игрой Хаос». С его помощью можно построить и некоторые другие фракталы.
Суть «игры» такова. На плоскости зафиксирован правильный треугольник A1A2A3. Отмечают любую начальную точку B0. Затем случайным образом выбирают одну из трех вершин треугольника и отмечают точку B1 — середину отрезка с концами в этой вершине и в B0 (на рисунке справа случайно выбралась вершина A1). То же самое повторяют с точкой B1, чтобы получить B2. Потом получают точки B3, B4, и т. д. Важно, чтобы точка «прыгала» случайным образом, то есть чтобы каждый раз вершина треугольника выбиралась случайно, независимо от того, что было выбрано в предыдущие шаги. Удивительно, что если отмечать точки из последовательности Bi, то вскоре начнет проступать треугольник Серпинского. Ниже изображено, что получается, когда отмечено 100, 500 и 2500 точек.
